一、数学方面的能力该怎么培养 知乎

一、认清你的需要

为什么需要学习数学，这是你首先需要想清楚的问题。数学学科子分类多、每一本数学书中都有许多定理和结论，需要花大量时间研究。而人的时间是宝贵的、有限的，所以你需要大体有一个目标和计划，合理安排时间。

1.1你的目标是精通数学、钻研数学，以数学谋生，你可能立志掌握代数几何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下坚实的现代代数、几何以及分析基础，你需要准备大量时间和精力，拥有坚定不移的决心。（要求：精通全部三级高等数学）

1.2你的目标是能够熟练运用高等数学，解决问题，掌握探索新应用领域的武器，你可能立志进入计算机视觉领域、经济学领域或数据挖掘领域。那么，你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。（要求：精通第一级高等数学）

1.3你的目标是想了解数学的乐趣，把学数学作为人生一大业余爱好。那么，你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础，对你来说，体会学数学的乐趣是一个更重要的目标。（精通第一级高等数学，在第二级高等数学中畅游，尝试接触第三级高等数学）

二、给自己足够的动力

学数学需要智力，更需要时间和精力。下面的几个事实相大家都深有体会：

1.凡是没有用的东西，或者虽然有用，但是你用不到的东西，学得快忘得也快。不信你回忆一下你大一或者初一的基础课，你还记的清楚吗？

2.凡是你不感兴趣（或者感觉不到乐趣）的东西，你很难坚持完成它。很多人都有这样的经历，一本书，前三章看的很仔细，后面就囫囵吞枣，越看越快，反正既没意思也没用。

3.小学数学是中学数学的基础，中学数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础（你可以以此类推）。

因此，无论你的目标是什么，搞数学、用数学、还是体会数学的乐趣、满足自己从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所用，永远是维持你动力不衰退的两个最主要的因素。

三、高等数学学什么？

好了，来看看标准大学数学的科技树：

一级：

线性代数（矩阵论），数学分析，近世代数（群环域），分别囊括了了几何、分析和代数的基础理论。别忘了还有概率论（建立在分析之上的一门基础学科）。

二级：

有了这些基础，接着是基础的基础、抽象和推广：测度论（积分的基础，当然也是概率论的基础），拓扑学（有关集合、空间、几何的一门极度重要的基础学科），泛函分析（线性代数的推广），复变函数（分析的推广），常微分方程与偏微分方程（分析的推广），数理统计和随机过程（概率论的推广），微分几何（分析和几何的结合）。

然后是一些小清新和应用学科：数值分析（算法），密码学，图形学，信息论，时间序列，图论等等。

三级：

再往上是研究生课题，往往是代数、几何和分析要一起上：微分流形、代数几何、随机动力学等等。

这个科技树的三级，和小学、初中、高中数学很相似，一层学不精通，下一层看天书。

四、如何学习

4.1适量做题

千万千万千万不要狂做题。玩过战略对抗游戏的同学都知道，低级兵造几个就行了，要攒钱出高级兵才能在后期取胜，低级兵不仅攻击力低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你有能力熬到后期。上面列举了那么多课程，你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集，你就30岁了，后面的二级课程还没开始学呢。因此，做一些课后习题，帮助你复习、思考、维持大脑运转就行，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮自己理清头绪。

4.2了解思想

数学的精髓不是做题的数量，而是掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的，你要读好几本书，了解一些应用才能体会。举两个例子：

微积分的主线有这么几条：认识到微观和宏观是有联系的，微分用来刻画事物如何变化，它把细节放大给你看，而积分用来刻画事物的整体性质；微分和积分有时是描述一个现象的不同方式，这一点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式；积分变换能够建立不同空间之间的的联系，建立空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理：，这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。

矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子；SVD分解不仅在应用学科用有极为广泛的亮相，也是你理解矩阵的有力工具；矩阵是有限维空间上的线性算子，对"空间"的理解不仅能让你重新认识矩阵，更为泛函分析的学习开了个好头。

4.3渐进式迂回式学习，对比学习

很多时候，只读一本书，可能由于作者在某处思维跳跃了一下，以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际知名教材，相互对比着看，或者看完一本然后再看同一主题的另一本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。举两个例子：

外微分这个东西，国内有的数学分析书里可能不介绍，我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里，觉得这是个方便巧妙的工具；后来读卓里奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西方外微分是一个基础知识。你要读懂它，可能要首先理解矩阵，明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，它是一种线性形式。最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的工具。

点集拓扑学这个东西，搞应用用不到。但是但凡你想往深处学，这一门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将寸步难行。首先你要读芒克里斯的旷世名著《拓扑学》，接着在读其他外国人写的书时，或多或少都会接触一些相关概念，你的理解就加深了，比如读Rudin的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前面的知识你就能用上了。

4.4建立不同学科的联系

看到一个东西在很多地方用，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

4.5关注应用学科

没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。以下结合自己的专业（计算机视觉）和爱好说说一些优秀的专业书籍：

学了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘；学了偏微分方程，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》，了解电的奥秘；学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程进行图像序列的三维重建；学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服；读了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己写了一个光线追踪器渲染真实场景，它的基础就是一点点微积分和矩阵......

高等数学的应用实在是太多了，如果你喜欢编程，自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有大量模型供你玩耍，而且只需要一点点高等数学。在这些领域，你可能能发现比数学书更有趣，也更容易找到工作的目标。

4.6找有趣的书看

数学家写的书有时是比较死板的，但是总有一些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展示"这个东西其实很有趣"，"这个东西完全不是你想的那个样子"等等，他们成功了；还有些作者，他们喜欢把一个东西在不同领域的应用，和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的一套《图灵数学统计学丛书》，这一套书实在是太棒了，比如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》，个人认为都是学数学必读的经典教材，非常非常有趣。

五、多读书，读好书

如果只有一句话概括如何培养数学能力，那么就是这一句：多读书，读好书。因此这一步我想单独拿出来多说两句。

想必大家都十分精通并能熟练应用小学数学。想读懂代数几何，或者退一步，想读懂信息论基础，你就要挑几本好的基础教材，最好是外国人写的，像掌握小学数学那样掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的书，对比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，记下来，说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。

如果你以后还要往后学，现在看到的每一个基础定理，以后还会用到。

每一本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。

要像读经文一样，交叉阅读对比不同教材内容的异同。

5.1.推荐教材（其实就是我读过的觉得好的书）：

第一级：

《线性代数应该这样学》

卓里奇《数学分析（两册）》（读英文版吧，不难。有知友说这个还是不太简单，那你可以先看个国内教材，然后回过头来再看这个）

复旦大学《概率论》

第二级：

芒克里斯《拓扑学》

图灵丛书的一些分册

柯斯特利金《代数学引论》

Vapnik《统计学习理论的本质》

Rudin《数学分析原理》

Rudin《泛函分析》

Gamelin《复分析》

彭家贵《微分几何》

Cover《信息论基础》

第三级：

《微分流行与黎曼几何》

《现代几何学，方法与应用》三卷

5.2.阅读一些科普教材

《数学是什么》

《高观点下的初等数学》

《巴赫、埃舍尔、哥德尔》

《e的故事》

5.3.阅读各个领域最有趣、最活泼、最让你长知识、最重视应用、文笔最易懂的教材和书籍

《费恩曼物理学讲义》三册

《混沌与分形：科学的新疆界》

《微分方程、动力系统与混沌导论》

《复分析：可视化方法》

最后想说，数学是一个无底洞，会消耗掉你宝贵的青春。一无所知的你可能励志搞懂现代数学，但是多会半途却步，同时剩下的时间又不够精通另一门科学。而且即使你精通纯数学，没有几篇好文章也并不容易找工作。

我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界，纯数学和应用数学学科都看看，找到感兴趣、应用广泛、工作好找（来钱）的方向再一猛扎下去成为你的事业。比如数学扎实，编程能力也强的人就很有前途。

作者：王小龙

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来源：知乎

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二、知乎为什么收费

1、“知乎上有许多有吸引力的问题要进行收费，原来不是这样的。”这点是否合理？

所有的企业做出的任何决策，都是直接或者间接地盈利。

盈利是企业的终极目标，而过程中采用怎样的方式，吸引顾客进行消费，是一门学问，于是出现了各种商业模式的创新，而一开始免费，后期逐渐开始收费，部分免费，部分收费，在今天来看难道不是一件很平常的事情吗？

许多游戏通关，前面免费解锁，后面则需要购买解锁；

花呗刚开通的时候，分期不需要利息，后期则需要；

婚恋网站都是注册免费，看一看免费，可要交流发信息什么的，则需要收费；

…………

诸如此类，

可以说，这种商业模式我们是司空见惯的，见不惯的，可能是售卖的东西，例如题中直指的——知识。

2、“分享平台，收费。”是否合理？

在这里，分享的主体和收费的主体是否一致？据我所知，不管是值乎，还是知乎的live，最终收取的费用都是到答主的口袋，知乎也只是提供了一个平台，起一个连接作用。

那么，在分享平台上，答者愿意无偿分享，是没问题的，

答者仅限有偿分享呢？如果有人愿意有偿接受这个分享，是不是这种形式也是有合理性的？

那作为知乎，是否应该表明自己只做无偿分享平台，而拒绝这种有偿的知识分享的形式存在？

显然，既然是周瑜打黄盖，一个愿打一个愿挨的事情，作为一个平台的提供者，同时还可以增加一定的用户量，知乎不会拒绝。

3、“是不是收费才会好好答题。”是否合理？

这种设问应该对人群进行分类：

第一种：不收费也会好好答题。

这种人在知乎上不占少数，他们或是分享自己的知识，或是提出自己的见解，或是推广自己的产品，亦或是让自己出名，这些都无可厚非，毕竟，好好答题是一种态度，这点要点赞。当然，以不误人子弟为前提。

第二种：收费才好好答题。

这种人也有，但是群众的眼睛是锃亮的，我免费看到你的答案，都是胡说八道，敷衍了事的，为什么我还会有兴趣，花钱看你有可能是认真回答的答案呢？

一个我看到次次都在认真回答的人，让我付费看他的一个答案，和一个我看到次次都敷衍了事的人，让我付费看他的一个答案。

一般的正常人，都会选择前者吧？

那么问题又来了

4、一个你已经知道他很厉害的人，只愿意付费后，才会好好答题，是否合理？

逻辑和之前还是一样的，两厢情愿的事情，在没有勉强的情况下，一方不愿意，是不是也不应该对另一方妄加揣测什么？

至于有知识的人把知识变现的问题，其实我们不就是处在知识经济的时代吗？

你上学，老师传教授业解惑，有学费；

你看医生，医生治病救人，有门诊费；

你拍个艺术照，摄影师让你照片美美哒，有摄影费；

三、优秀的游戏制作人需要具备哪些知识 知乎

制作人是一个需要大量经验和实践的管理职位，但我认为好的制作人除了具备团队管理的经验和能力之外，首先应该是一个好的游戏策划或者主策划，是一个能把握产品方向的人，所以，我觉得更应该了解，一个优秀的游戏主策划应该具备怎样的素质和能力。

因为工作中需要大量招聘，所以我一直再认真思考这个问题：怎样的人，才是在游戏策划这个领域具备发展潜力和成长优势的。

互娱多年来从校园招聘了大量的毕业生到游戏策划岗位培养，毕业生相对与社招员工来说，没有职场经历，也没有受过任何游戏相关领域的培训，可以说职业起点差不多，基本都是一张白纸。因此是很好的观察对象。

在观察了数百位的策划毕业生的成长状况之后，我发现了一些现象。首先，成长最快的，往往不是在面试时候表现出来对各种游戏最了解和游戏经历最资深的，也往往不是学习成绩最好或者专业成就最高的，至少在学习和游戏方面取得的成就经验没有明显和他们未来在职场的发展潜力紧密相关。

在招聘中，不乏碰到从小就玩遍百游，见识超广博的骨灰级玩家，有自修自习游戏设计，擅长RPGMaker或者星际魔兽编辑器用的非常熟练的准专业高手，也有一些是高考状元，学科牛人，长期一等奖学金获得者，各类大赛冠军或者学生会的主席之流。但若干年之后，似乎成长最快，发展最好的员工里，却再看不到他们的身影，好像进入职场之后，天才们就“泯然众人”了。而真正被迅速提拔的员工里，很多却是起点远远低于他们的普通学生。

这种现象让我对我们的招聘标准产生了比较大的兴趣，究竟是什么样的素质，才是适合在这个行业发展的呢。

后来，我类比了一个这样的问题：如果这个世界上没有电影学院的话，你如果想从无数的电影观众里挑选适合当导演或者编剧的人选，你会挑什么样的人？

是挑选观看电影最多的发烧友？还是挑选观后文章写的最好的人，或者沟通能力最强的人，或者是挑选热情最高，意愿最强的人？

当然，我觉得以上的条件都有优势，但是肯定不是最核心的能力。

其实，如果有这么多业余观众，你肯定会发现一些不一样的人。这些人会说出一些更专业的东西，就好像豆瓣上的影评一样，有人只能说出这个电影情节如何曲折，或者表演如何出色，但有人会指出某些电影之间在风格，手法上的关联，有些人会发现情节设计上一些共同的规律，或者发现在镜头切换和转场技巧上有什么共通，他们会定义出一些流派，并发现一些如何更吸引观众的规律，哪怕是他们没有受过任何专业的培训。

这类人在每个领域都存在，如果在体育领域可能会是专业足球评论员或者专栏作家，如果在股票领域可能是有影响力的股评家，总之，他们会在自己喜欢和擅长的领域迅速显露出来，成为比常人更加专业，甚至能影响大众的行家。别人对于业余爱好只是爱好而已，而他们一旦爱好就会成为极客，专家，学者。

其实这是一种潜力，一种喜欢从发现规律和运用规律中获取乐趣的潜力。在普遍性的事物里，通过深入的观察，思考和分析，找到别人未发现或者忽视的潜在规律，并让人认同，甚至运用规律来进行创造，展现自己的思考价值，这是对自我价值的一种良好实现，真正的发烧友会视之为最高乐趣。

“我玩过这么多游戏，为什么有的好玩，有的难玩？”

“某个游戏非常好玩，那它的深层乐趣究竟来自何处？这个乐趣能附加到其他游戏上吗？”

“这么多不同的游戏，它们的内在设计里有什么共通之处吗，我能不能找到一些说法来描述出好的设计有什么共同的联系？”

“我想我找到了一些规律，我知道怎么让某类游戏做的更好玩了，我要是是游戏设计师，我肯定可以做出一款比xxx更好玩的游戏来！”

如果你的脑海里经常盘旋着这样的想法，并且会情不自禁的推动你反复思考这些问题，并为此大量涉猎知识或者与人讨论，并且每次你的思考有所收获之后都会感觉到兴奋和乐趣，那么你在这个领域的潜能已经具备了最基础的原动力：对掌握规律的兴趣。

如果你有机会碰到的很多在同领域有兴趣的同好朋友，而你每次的观点都能表现的比他们更深入更广泛和普适，而且你能够让更多的同好也认同你的看法和观点，那么你可以确信你在这个领域有比一般人更深的见解，具备影响力，那么你在这个领域就具备了一定的潜能：发现规律的思考力。

有人可能在学习能力上有所专长，但不一定在游戏领域里具备同样的能力。喜欢玩游戏和喜欢琢磨游戏设计其实也不是同一回事，能够玩好游戏和能够思考设计规律更不是同一种能力，真正在游戏设计领域同时具备兴趣和能力的玩家，其实并不多见。

一般面试在专业领域只能测试到这个程度，如果一个学生对游戏有超越常人的兴趣和发现基础规律的能力，那已经是一个很好的策划苗子，但是真正适合成为游戏策划还需要一些其他的素质。具备兴趣和思考力只是说明你有适合做策划的头脑，但是策划同时也是一个执行性的岗位，所以好的策划不仅要有脑，还得有手，既所谓执行力。

执行力是任何岗位都需求的普遍素质，而策划的执行力尤其重要，你有了好的想法，不知道如何去影响别人和主导执行，那想法就只能永远是想法，你也永远不能获得实践的机会。在一个策划团队里，如何才能建立自己的影响力，建立领导和团队对自己的信任，并且积极务实的推动自己的想法转化为具体工作是非常重要的一项综合能力。

有很多策划抱怨，我有很多很好的想法，或者我看出了产品很多问题，但是没有机会让我去主导或者没有人愿意认同我，这本身就是能力缺乏的一种表现。在一个团队里，如果你不懂得如何正确的去影响别人，让大家认同你，让领导给与你机会，推动你的想法变成工作，那你也不可能从一个普通策划逐渐成长起来。策划领域很多问题没有绝对的对和错，关键是你如何让大家认同你的想法，能够统一众人的意见，通过实践来积累经验，最后通过业绩证明自身价值。

每当你在一个领域能取得大家的认可，那么你就自然能得到更多的授权和更多的机会。每个制作人其实都是从最基础的领域开始成长，不断的通过业绩来证明自己能力，然后再进入更高层次锻炼。从骨干到组长，从主xx，PM到副制作人，制作人，能在2-3年时间内在某个层面获得充分认可就已经是非常厉害了，可能有的人会在一个层面花上上十年的时间去积累和突破瓶颈。这是一种职场游戏，精于此道者自然能获得更快的成长速度。

最后，当你已经成为一个能力全面，足以把握产品方向的资深专家之后，你离制作人所差的，其实只是管理能力。从能带领十几个人完成任务和能带领更多人完成任务，所需要的是不断的能力锻炼和经验积累。

所谓百炼成钢，但你首先要确认自己是否是容易炼钢的材料。如果你从来没有为发现规律而激动万分的体验，没有半夜突然悟到道理而夜不能寐非要立刻找人倾述的经历，没有把身边同事讲到两眼圆瞪如痴如醉的能力，没有极想把自己的思考写成PPT来与人分享的激情，甚至还在为如何挤出一篇课件来完成晋升要求而痛苦烦恼。

那，你还是速度认命吧，就算未来凭借资历能混上制作人岗位，我敢保证你也当的兴趣全无。要知道，这个世界给大家配的天赋点本来就不太一样，也许你的专长不在于此。

一些题外话：

我一直在向往能成为一名大师。

所谓大师，是能够凭借自己的思考去颠覆和改变全世界在某个领域的传统认知，从而开创新的时代的人。成为大师和成为传统意义上的成功者并不是一个概念，在很多领域的大师身前并不为人所知，或者并没有身家丰厚，但是他们通过发现规律或者发展创意而改变了世界。我再想，当爱因斯坦投出狭义相对论论文的时候，当凯恩斯写出货币通论的时候，当欧拉创立微积分的时候，当诺伊曼写出计算机原理的时候，当弗洛伊德写出梦的解析的时候，当希区柯克拍出第一部悬疑片的时候。他们肯定在想：看，我光凭借我的头脑，就深刻的影响到了未来，无论世界如何变迁，再也抹杀不掉我的存在的价值。我产生的思想和理论，不论未来后人再如何聪明智慧，再无可能占有他们，这才是永久归属于我的人生财富。

这，是何等令人满足沉醉的成就感。

也许，此生没有机会在如此重要的领域里留下自己的痕迹，但是至少，在自己喜爱的领域，我希望让未来会因为自己的思考而有所改变，这比其他任何回报都让人兴奋激动。所谓职业价值，尽在于此。