一、关于魔方的研究性学习活动要全文

魔方与数学”校本课程开发

摘要：

“魔方与数学”是通过挖掘魔方中的数学因素，在遵循学生认知和心理发展的基础上，借助魔方这一富于数学原理的实物玩具，丰富学生的数学活动经验，增进学生对数学的兴趣，从而促进学生的数学学习的校本课程。该课程主首先介绍了本研究的研究背景；之后对“魔方与数学”该校本课程的设置进行了详细的说明，包括课程设置的目标、计划、实施和评价；最后介绍了本课程的存在问题及发展方向。在当今数学教育改革强调调动学生的积极性，从兴趣出发加强校本课程开发的背景下，作为数学这种传统具有抽象性和逻辑性的学科的校本课程的研发，是一种有益的尝试。

关键词：

魔方小学数学校本课程

一、课程开发的背景。

（一）“魔方与数学”的慨念界定魔方是一个娱乐性很强的益智玩具，它的发明与发展貌似与数学教育没有联系，多数人甚至是魔方玩家也没意识到它所蕴含的数学原理，家长和小孩也都把它当做开发智力的玩具。但事实上魔方与数学的关系是非常密切的。魔方是一个可以变化的空间立体图形，在玩魔方的过程中它可以使小学生形成空间与图形的概念，并对一些数学概念如变换、群、坐标、组合等有一个直观的理解，方便日后的数学学习。魔方的构造及操作过程蕴含着丰富的数学思维因素，这一点也是玩魔方具有很丰富的层次感和技能技巧性的原因所在。“魔方与数学”课程的开发不仅仅是教小学生技巧性的还原魔方，更重要的是借助魔方让小学生在玩中体会数学知识、数学方法和数学思想，增进小学生对数学的兴趣，从而促进小学生数学的学习，改善数学学习效果。（二）理论和现实意义 2001年7月，国家教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，提出了新的教育理念拓展了课程的认识，鼓励地方和学校为基础，设置和开发以提高学生的数学兴趣，满足学生的需要为基础，多样化的校本课程。“魔方与数学”的校本课程的开发有助于突出学校的办学特殊，教师的专业化和个性的成长，有助于对学生进行生动的素质教育，同时它在促进传统数学课程向现代模式改良方面起到积极作用。张景中先生在《好玩的数学》丛书的序言中说“在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者”。如果没有特别的介绍，幕后工作者总是不被观众所知。同样的道理，由于缺乏对数学内涵的挖掘，很多人对，魔方爱不释手，却根本意识不到自己是在玩数学，甚至包括一些数学老师。“魔方与数学”校本课程的开发正是通过挖掘魔方中的数学元素，让小学生在玩魔方的过程中，教会他们用数学的眼光去看待魔方、用数学的思维和方法解释魔方，自主探究、动手实践，合作交流，在玩魔方的过程中获得广泛的数学活动经验，体会数学的魅力和数学思想方法的应用价值。因此，“魔方与数学”校本课程的开发作为现行数学教学的辅助和补充，具有一定的现实意义。

二、“魔方与数学”课程的设置

首先从课程的目标进行切入，然后介绍该课程的适用对象和依据，最后从课程实施的角度，对课程计划、学习方式、教学方式、课程评价等方面做出详细的说明。（一）课程的目标（1）了解关于魔方发明和发展历史，对魔方的基本原理和构造有个比较清晰的认识；能够顺利的还原二阶魔方、三阶魔方，能够完成一些简单的魔方图案；认可魔方是一种富于数学道理的游戏，能够阐述其中的一些简单的道理。（2）在“玩”魔方的过程中，能够比较自觉地运用数学的眼光看待魔方、用数学的方法辅助求解，从而提高在生活中运用数学的意识和能力；提高空间想象能力、动手能力、分析、判断和决策的能力。（3）在魔方课程的学习中，体会数学，提高数学学习兴趣；体验尝试错误、经验、顿悟等学习过程，体验魔方还原和拼图的喜悦和成就，锻炼良好的意志和心理素质；选择积极、健康的休闲娱乐方式，规避消极娱乐，用乐观、智慧的态度面对生活。（二）课程对象和依据“魔方与数学”校本课程是以小学六年级的学生为对象，在六年级上学期开展的课程。其对象的选择及开课时间依据如下：（1）认知和心理的角度：小学六年级的学生是小学阶段的最高年级，在认知和心理发展的过程中，已具备了形式抽象能力，在空间想象，逻辑思维方面有了一定的基础，因此，从小学生发展规律来看，在六年级实施魔方课程是符合其成长发展规律的。（2）与国家课程配合角度：人教版小学数学六年级上学期有关于长方体、正方体知识的学习，魔方是一个立体空间图形，通过魔方课程的开设可以让学生空间和图形的慨念，培养数学的抽象思维的想象能力和分析能力，不仅有助于学习本学期长方体和正方体的内容，而且为以后中学阶段的几何学习奠定了牢固的基础和兴趣，从而有助于数学的学习效果。（3）开设时间的角度：“魔方与数学”课程选定在小学六年级上学期开设，不仅与国家课程相配合，而且减轻了小学生小升初的学习压力，使小学生在上学期的魔方学习中增进对数学的学习兴趣，避免了在下学期开课的形式主义现象，具有可实施性和操作性。（三）课程计划依据本课程的目标，分析影响教学的因素（包括数学因素、游戏和魔方本身的因素、学生身心发展因素等）选择和确定教学内容，并按一定的逻辑和顺序，建立适合学生学习、配合课内数学教学的教学体系。以下是初步制定的“魔方与数学”的教学计划：“魔方与数学”作为一门小学六年级的校本课程，每周一学时，每学时 45分钟，共18个学时。单元单元名称内容学时（18）单元目标第一单元简单介绍历史 1了解魔方故事 1家族 1第第二单元入门学习构造和原理 1掌握魔方的基本原理和构造和公式基本公式和简单拼图 3第三单元二阶魔方还原还原二阶的技巧和方法 2熟练二阶还原第四单元三阶魔方还原还原三阶的技巧和方法 3学会三阶还原第五单元还原魔方的数学思考谈谈魔方中的数学 3对魔方有一定的数学认识玩魔方的体会第六单元研究性学习特殊魔方 3不要求学会，兴趣掌握高阶魔方技巧分享（四）课程实施——教师的教学和学生的学习（1）学习方式 1.师生间的学习魔方作为一种益智玩具，并非为数学爱好者所独享.但数学教师开设魔方课程，本身就带给学生一种信号—魔方与数学有千丝万缕的联系.在本课程中，教师向学生传授的不仅仅是还原魔方的技巧，而更多的是其中蕴含的数学思想与方法，这与普通的魔方玩家教授魔方在思路上和关注点上有明显的不同.学生在观察思考、动手实践的基础上，在教师的引导下，尝试挖掘游戏中的数学内涵，用数学的眼光看待和寻找游戏的规律，在机械模仿、亲身体验之后，对游戏的过程进行理性地分析和思考，提高了对魔方游戏的认识和把玩技巧，同时在游戏中体验到数学的魅力和数学思想方法的应用价值。师生间的学习，是确保《魔方与数学》课程质量的学习方式，是区别于普通魔方玩具的关键。 2.生生间的学习在多数人心目中，能够还原魔方是“聪明”的一个代名词，快速还原魔方更是一项富有挑战性的游戏，非常容易引起小学生的兴趣.而且魔方价格低廉、便于携带，爱好者可以随时随地进行精彩的个人表演，博得周围无数羡慕的目光.因此，每个会还原魔方的孩子周围，都会自然地聚集起一个小组，同学之间互相学习，能快速还原魔方的孩子更成为魔方的转播中心，他们会自发地组织切磋、竞技，甚至连家长和其他教师也为此向他们学习。魔方自然地促进了学生之间的相互学习和交流，增强了学生社会性的发展。生生间的学习，是在本课程学习中，学生自发采用的最普遍、最重要的方式之一，是魔方游戏在学校内外、家庭普及推广的方式，也是本课程相对于常规数学课程的特色之一。 3.教程的学习教程的学习是学生学习魔方，感受魔方与数学关系的来源。通过精心选择编制的符合六年级小学生的教程能够向小学生传递适合他们身心特点需要的知识，这也是“魔方与数学”教程不同于一般魔方教程的特色之一。 4.网络、媒体学习搭建网上交流、互动的平台，建立“魔方与数学”学习网站，开设网上学习专区、经验交流专区、学习报告专区等等。由开课老师和学生将搜集好的魔方学习资料、学习视频上传，实现资源共享，另一方面由开课老师组织建立小组合作的模式，设置小组学习专栏，在专栏中提出各种问题相互讨论交流，先由小组内部独立解决，解决不成功在上升到班级问题中师生共同讨论，寻找问题的解决方法。利用网络和媒体进行交流，是更广泛地利用时间、空间和资源的学习方式。（2）教学方式“魔方与数学”课程不同于一般的学科知识的学习，它不仅仅局限于魔方的简单知识传授，更重要的是学生道德亲身体验，在本课程中学生是通过动手来学习，通过实际的操作来促进思维，用自身的体验来感受魔方和数学的巨大魅力。事实证明，从未摸过魔方的学生与曾经过玩魔方并未成功的学生相比，在学习魔方的时候表现出明显的差距;而在学生实践后，再解释其原理比操作前就做讲解有效的多.所以，在本课程中，要给学生保留充分地自主体验的时间和空间，教师则适时、适度地进行示范、讲解和点拨。因此，作为“魔方与数学”的开课老师而言，因根据本课程的特点和要求，选择适合学生学习的教学方式，注重讲解的示范性。在教学组织形式上，既应采取班级教学的形式，又应采用小组教学、个别指导的形式。在教学过程中进行积极的探索、实践和反思，了解学生的数学学习过程和思维形成过程，进而因材施教，进行有目的、有计划、有效果的教学。（五）课程评价“魔方与数学”课程的评价改变目前课程评价的简单化倾向，采取用现代教育评价观指导的多样化的灵活的课程评价方式，它不以学生的考试成绩为唯一评价对象，采取量化和非量化相结合的方式，评价对象既包括最后的笔试和操作成绩，还包括上课过程中的表现性评价，同时评价主体实行多元化评价，不仅包括老师，还包括学生自己的自我评价和小组成员的互评评价，是促进学生主动参与、自我反思、自我发展的过程。具体评价方式如下表所示：评价类型评价形式评价主体评价内容项目分值表现性评价课堂评价老师 1.课堂积极性 2.课堂纪律 3.课堂创造 4.小组任务分工 5.小组贡献 6.学习报告???.. 10小组评价组员自我评价学生本人 30 10 10考试评价笔试老师和学生评委 1.魔方的符号公式 2.魔方的数学思考小作文 3.谈谈你对魔方的认识 70 20魔方比赛 1.简单拼图 2.还原二阶 3.还原三阶 50

三、存在的问题和发展方向

“魔方与数学”是对小学数学学科提供新鲜素材的有益尝试，它在提高小学生学习数学兴趣，在玩魔方中体会数学知识、数学思想和数学方法，促进数学学习以及非智力性因素如创造分析能力、意志力、自信心等方面的价值是值得肯定的但作为一门由小学老师开发和设置并实施的校本课程还寻在一些问题：首先在课程开发水平方面的水平还是非常有限的，有很多不规范的地方，需要不断改进。在数学方面、课程方面、教学方面、魔方方面都需要继续挖掘，尤其是目前针对小学生魔方数学教学的教学研究十分匮乏，需要在往后的学习和实践中深入思考，探索适合小学生的教学方式。其次，魔方课程需要魔方作为教具，以现代化的网络和媒体作为平台，因此“魔方与数学”校本课程需要有一定条件的学校才能开展下来，在物质保障不足的学校难以实施。再次，魔方是一种有趣的益智玩具，其构造和操作过程中都蕴含着丰富的数学因素。因此对于“魔方与数学”课程的开发来说对老师的要求是很高的，课程老师不仅会要玩魔方，更要组织小学生用一种特别的方式教会他们玩魔方最重要的是要求课程老师在指导学生玩魔方的过程中能够体会魔方中的数学慨念、数学思想和数学思维。对于本课程的继续发展，可以有以下两方面的尝试：(1)继续探索魔方与数学的本质关系，进行研究性探索和开发为学有余力、兴趣浓厚的学生提供进一步的探索空间。(2)可以尝试将其他有利于学生学习数学的益智玩具如七巧板、15滑块游戏等带入课堂，让学生更充分地享受动手操作数学的乐趣，进一步提高数学学习的兴趣，拓展数学教学资源。

参考文献： [1] [2] [3] [4]陈丹阳译.魔方宝典[M].辽宁科学技术出版社.2010. [5]全日制义务教育数学课程标准(实验稿)，北京:北京师范大学，2001年:11. [6]杨迅文.魔方探胜[M]福州:福建人民出版社，1982:1一2 [7]张强.魔方中的数学问题[J].数学小论文. [8]吴鹤龄.七巧板、九连环和华容道—中国古典智利游戏三绝[M]北京，科学出版社，2004:l. [9]任长松.新课程学习方式的变革[M].北京:人民教育出版社，2003年:2. [10]郑杰.给教师的一百条新建议[M]上海:华东师范大学出版社，2004年:51

二、关于魔方的数学小知识

1.魔方有哪些的数学知识

魔方有多少种可以达到的状态？答案是 43252003274489856000约 4000亿亿。

算法： 8个角方块排列在 8个位置， 12个棱方块排列在 12个位置，共有 8!* 12！种。又每个棱方块有 2个朝向，每个角方块有 3个朝向，共 3^8* 2^12种。因此魔方的状态数是 8!* 12!* 3^8* 2^12= 519024039293878272000种，51902亿亿以上。

但在 20个方块中， 18个位置确定，另外 2个位置也就确定了。因此要去掉因子 2。在 8个角方块中， 7个朝向确定，第 8个朝向也就确定了；在 12个棱方块中， 11个朝向确定，第 12个朝向也就确定了。这样要再去掉 3* 2因子，实际是上面数的 1/12，即总数 8!* 12!* 3^7* 2^11/2=43252003274489856000.

从另一个角度考虑上面的除数 12.如果我们确定了 6种颜色，每种颜色涂在魔方的1个表面上的9个小方块上。然后然后我们拆开魔方，再打乱了重新拼装起来，那么并不是所得到的每个魔方都能还原为初始状态。具体说，有519024039293878272000种拼法，可以分为 12类，每类 43252003274489856000种。同类里任何两个状态可以相互转换，而不同类间不能转换。

我同学能在两分钟之内转出来哦~！

2.魔方中有哪些数学知识

魔方中的数学知识主要涉及组合数学、线性代数、群论。关系最密切的是群论。

如果你尝试着玩过魔方，你会发现，无论怎么转动，想要在魔方上造成单个2循环（2个棱块单独交换位置，或者是2个角块单独交换位置）是不太可能的。这就需要从数学的角度来解释这个问题啦。

简单来说，群泛指具有类似性质的事务的***。群论是由德国数学家迦罗瓦在研究高次代数方程求解的问题中创立的。群论是在实践中发展起来的，从本质上说，它是对对称性的一种抽象描述，而对称性又是宇宙中许多事物的共同特性。

因此群论创立以后，在物理、化学、生物等许多科学中获得了广泛的应用，并取得了许多非凡的成就。魔方被发明以后，魔方的结构、旋转特性、甚至单独块的循环换位，正是对群论的许多基本概念和定理的最好诠释。

通过魔方来学习群论，会让理论的变得具体，不在抽象难懂。反过来，在群论的指导下，魔方六面的还原也会变得有规律可循，容易掌握，不在高深莫测、难以捉摸。即使是对数学不敢兴趣的纯粹魔方玩家，对魔方中的数学有一定的了解，也会提高他玩魔方的技巧和熟练程度，有助于对魔方更深层次的理解。

魔方和数学的直接联系就是魔方的变化总数：三阶魔方总的变化数43、252、003、274、489、856、000。或者约等于4.3X10^19。那么这个数字是怎么算出来的呢？其实就是分别算出棱块角块的状态，然后在减掉对称结构中重复出现的状态。

扩展资料：

不同种类的魔方

1、传统魔方

“顺/逆时针旋转”、“方位”、“群”、“坐标”、“组合”……无论是基础数学知识，还是高等数学，魔方的转法和还原思路，都可以帮助孩子对这些晦涩难懂的知识点，有一个更直观的理解。

2、镜面魔方

对很多数学老师而言，镜面魔方是学立体图形体积、表面积最棒的教具，没有之一！它的转法跟三阶魔方完全一样，三阶魔方是根据相同颜色来还原，而镜面魔方则需要通过判断哪些方块的“高度”相同，来确定它们是否为同一面，进而进行还原。这个过程，极大的提升了孩子们对体积的感知。

3、三角魔方

三角魔方是最容易还原的魔方，虽然只需要两个步骤，但却能对理解“三角形”、“空间与面”等概念，起到十分重要的作用。特别是中学立体几何中大量的三棱锥知识，三角魔方可以帮助孩子，理解其中不同平面间的抽象关系。

3.魔方里面都有什么数学知识

魔方里面都有什么数学知识

2008年七月，来自世界各地的很多最优秀的魔方玩家聚集在捷克共和国（Czech Republic）中部的帕尔杜比采（Pardubice），参加魔方界的重要赛事：捷克公开赛.在这次比赛上，荷兰玩家阿克斯迪杰克（E. Akkersdijk）创下了一个惊人的纪录：只用 7.08秒就复原一个颜色被彻底打乱的魔方.无独有偶，在这一年的八月，人们在研究魔方背后的数学问题上也取得了重要进展.在本文中，我们就来介绍一下魔方以及它背后的数学问题.

一.风靡世界的玩具

1974年春天，匈牙利布达佩斯应用艺术学院（Budapest College of Applied Arts）的建筑学教授鲁比克（E. Rubik）萌生了一个有趣的念头，他想设计一个教学工具来帮助学生直观地理解空间几何的各种转动.经过思考，他决定制作一个由一些小方块组成的，各个面能随意转动的 3*3*3的立方体.这样的立方体可以很方便地演示各种空间转动.

这个想法虽好，实践起来却面临一个棘手的问题，即如何才能让这样一个立方体的各个面能随意转动？鲁比克想了很多点子，比如用磁铁或橡皮筋连接各个小方块，但都不成功.那年夏天的一个午后，他在多瑙河畔乘凉，他的眼光不经意地落在了河畔的鹅卵石上.忽然，他心中闪过一个新的设想：用类似于鹅卵石表面那样的圆形表面来处理立方体的内部结构.这一新设想成功了，鲁比克很快完成了自己的设计，并向匈牙利专利局申请了专利.这一设计就是我们都很熟悉的魔方（magic cube），也叫鲁比克方块（Rubik's cube）[注一].

六年后，鲁比克的魔方经过一位匈牙利商人兼业余数学家的牵头，打进了西欧及美国市场，并以惊人的速度成为了风靡全球的新潮玩具.在此后的 25年间，魔方的销量超过了 3亿个.在魔方的玩家中，既有牙牙学语的孩子，也有跨国公司的老总.魔方虽未如鲁比克设想的那样成为一种空间几何的教学工具，却变成了有史以来最畅销的玩具.

魔方之畅销，最大的魔力就在于其数目惊人的颜色组合.一个魔方出厂时每个面各有一种颜色，总共有六种颜色，但这些颜色被打乱后，所能形成的组合数却多达 4325亿亿[注二].如果我们将这些组合中的每一种都做成一个魔方，这些魔方排在一起，可以从地球一直排到 250光年外的遥远星空.也就是说，如果我们在这样一排魔方的一端点上一盏灯，那灯光要在 250年后才能照到另一端.如果哪位勤勉的玩家想要尝试所有的组合，哪怕他不吃、不喝、不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花 1500亿年的时间才能如愿（作为比较，我们的宇宙目前还不到 140亿岁）.与这样的组合数相比，广告商们常用的“成千上万”、“数以亿计”、“数以十亿计”等平日里虚张声势、忽悠顾客的形容词反倒变成了难得的谦虚.我们可以很有把握地说，假如不掌握诀窍地随意乱转，一个人哪怕从宇宙大爆炸之初就开始玩魔方，也几乎没有任何希望将一个色彩被打乱的魔方复原.

4.有关魔方的知识

魔方，Rubik's Cube又叫魔术方块，也称鲁比克方块。

是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的。魔方系由富于弹性的硬塑料制成的6面正方体。

魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一块被称为智力游戏界的三大不可思议。而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹。

三阶魔方核心是一个轴，并由26个小正方体组成。包括中心方块6个，固定不动，只一面有颜色。

边角方块8个（3面有色）（角块）可转动。边缘方块12个（2面有色）（棱块）亦可转动。

玩具在出售时，小立方体的排列使大立方体的每一面都具有相同的颜色。当大立方体的某一面平动旋转时，其相邻的各面单一颜色便被破坏，而组成新图案立方体，再转再变化，形成每一面都由不同颜色的小方块拼成。

据专家估计所有可能的图案构成约为4.3*10^19。玩法是将打乱的立方体通过转动尽快恢复成六面成单一颜色。

魔方总的变化数为43 252 003 274 489 856 000。或者约等于4.3X10^19。

如果一秒可以转3下魔方，不计重复，需要转4542亿年，才可以转出魔方所有的变化，这个数字是目前估算宇宙年龄的大约30倍。中心块（6个）：中心块与中心轴连接在一起，但可以顺着轴的方向自由的转动。

中心块的表面为正方形，结构略呈长方体，但长方体内侧并非平面，另外中心还有一个圆柱体连接至中心轴。从侧面看，中心块的内侧会有一个圆弧状的凹槽，组合后，中心块和边块上的凹槽可组成一个圆形。

旋转时，边块和角块会沿着凹槽滑动。棱块（12个）：棱块的表面是两个正方形，结构类似一个长方体从立方体的一个边凸出来，这样的结构可以让棱块嵌在两个中心块之间。

长方体表面上的弧度与中心块上的弧度相同，可以沿着滑动。立方体的内侧有缺角，组合后，中心块和棱块上的凹槽可组成一个圆形。

旋转时，棱块和角块会沿着凹槽滑动。另外，这个缺角还被用来固定角块。

角块（8个）：角块的表面是三个正方形，结构类似一个小立方体从立方体的一个边凸出来，这样的结构可以让角块嵌在三个棱块之间。与棱块相同，小立方体的表面一样有弧度，可以让角块沿着凹槽旋转。

5.魔方里面都有什么数学知识

魔方里面都有什么数学知识2008年七月，来自世界各地的很多最优秀的魔方玩家聚集在捷克共和国（Czech Republic）中部的帕尔杜比采（Pardubice），参加魔方界的重要赛事：捷克公开赛.在这次比赛上，荷兰玩家阿克斯迪杰克（E. Akkersdijk）创下了一个惊人的纪录：只用 7.08秒就复原一个颜色被彻底打乱的魔方.无独有偶，在这一年的八月，人们在研究魔方背后的数学问题上也取得了重要进展.在本文中，我们就来介绍一下魔方以及它背后的数学问题.一.风靡世界的玩具 1974年春天，匈牙利布达佩斯应用艺术学院（Budapest College of Applied Arts）的建筑学教授鲁比克（E. Rubik）萌生了一个有趣的念头，他想设计一个教学工具来帮助学生直观地理解空间几何的各种转动.经过思考，他决定制作一个由一些小方块组成的，各个面能随意转动的 3*3*3的立方体.这样的立方体可以很方便地演示各种空间转动.这个想法虽好，实践起来却面临一个棘手的问题，即如何才能让这样一个立方体的各个面能随意转动？鲁比克想了很多点子，比如用磁铁或橡皮筋连接各个小方块，但都不成功.那年夏天的一个午后，他在多瑙河畔乘凉，他的眼光不经意地落在了河畔的鹅卵石上.忽然，他心中闪过一个新的设想：用类似于鹅卵石表面那样的圆形表面来处理立方体的内部结构.这一新设想成功了，鲁比克很快完成了自己的设计，并向匈牙利专利局申请了专利.这一设计就是我们都很熟悉的魔方（magic cube），也叫鲁比克方块（Rubik's cube）[注一].六年后，鲁比克的魔方经过一位匈牙利商人兼业余数学家的牵头，打进了西欧及美国市场，并以惊人的速度成为了风靡全球的新潮玩具.在此后的 25年间，魔方的销量超过了 3亿个.在魔方的玩家中，既有牙牙学语的孩子，也有跨国公司的老总.魔方虽未如鲁比克设想的那样成为一种空间几何的教学工具，却变成了有史以来最畅销的玩具.魔方之畅销，最大的魔力就在于其数目惊人的颜色组合.一个魔方出厂时每个面各有一种颜色，总共有六种颜色，但这些颜色被打乱后，所能形成的组合数却多达 4325亿亿[注二].如果我们将这些组合中的每一种都做成一个魔方，这些魔方排在一起，可以从地球一直排到 250光年外的遥远星空.也就是说，如果我们在这样一排魔方的一端点上一盏灯，那灯光要在 250年后才能照到另一端.如果哪位勤勉的玩家想要尝试所有的组合，哪怕他不吃、不喝、不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花 1500亿年的时间才能如愿（作为比较，我们的宇宙目前还不到 140亿岁）.与这样的组合数相比，广告商们常用的“成千上万”、“数以亿计”、“数以十亿计”等平日里虚张声势、忽悠顾客的形容词反倒变成了难得的谦虚.我们可以很有把握地说，假如不掌握诀窍地随意乱转，一个人哪怕从宇宙大爆炸之初就开始玩魔方，也几乎没有任何希望将一个色彩被打乱的魔方复原.。

6.玩转魔方的数学公式和技巧

三阶魔方一共有二十六块，分为三个部分。六个中心块，这是不动的。八只角和十二条棱。

常用的方法一般有三种，分层法，角先法和棱先法。不过我认为还是棱先法比较简单和实用的。

还原棱就是在每一个面上都拼出个十字，拼十字时不是按面来的，而是按层来的。

先还第一层的，也就是在第一面上拼出个十字。这个很简单，不过拼出来的十字一定要正确

也就是十字的那四条棱侧而的颜色一定要跟前后左右中心块的颜色一致。

对了。忘了跟你说方向的定位了。朝上的称为上，右手边的为右，左手边的为左之类的，这

在以后的公式里是能用的上的。

第一面好了之后。现在还原第二层，这也很简单的。公式也就是前+下+前-前+下-前-

一类的很简单的，还原这后，前后左右四面会出现四个倒着的T。

现在该把魔方倒过来了，也就是把下层变为上层。这时如果够幸运的话，底下的一层也已经好了。

如果没有的话。现在就真的要用上公式了。

拼十字公式

公式1右-上-前-上+前+右+

公式2右-前-上-前+上+右+

用这两个公式时。用1分拼出两个相对的棱，这时需要有2了。把魔方的上层看作一个时钟

把它的两条已经转到上方的棱看作时针和分针，应该放在六点整的们置上。这样才能用公式2

当用2时会拼出相邻的两条棱，再用公式1时，就要把魔方放在九点整的位置上，

这时拼出的十字位置不一定对。有可能对一个，出有可能对两个。也可能一个也不对，因为上层可以

自由转动。这时就要换公式了。在用公式的时候要把十字放在只有一条棱对的时候。也就是其它三个都不对时

转十字公式

公式1右-上-右+上-右-上2

公式2左+上+左-上+左+上2

用公式1会把那三个错们的棱按顺时针挪动一个位置。公式2则为逆

完成之后。六面的十字就已经拼好了，现在要把角复原过来

转角公式

公式1上+右+上-左-上+右-上-左+

公式2上-左-上+右+上-左+上+右-

用法，用公式1是为了要把左前左后右后这三个角按逆时针挪动一个位置，但主要还是要把左后角转到左前

公式2是为了把右前右后左后这三个角顺时针挪一下位置。但主要是为了把右后转到右前

用1时会把右后角挪动。如果这时这个角已经复原过了。只要把右手边的旋转一下就行了。用2则会把左后角打乱

处理方法和1的原理一样。

当还原了五只角时。这时剩下的三只角就可以一次转过来了，不过说起来容易做起来难。对于新手来说，还是

再还原一只角吧，这时会出现几种情况，第一种，相邻的两只角位置不对。把那两只错乱的角放在左前角和左后角

这两个位置，这时你会发现两只角会出现有两只颜色一样的在同一面。应该把那颜色一样的面朝上，你还会发现这各颜色

和左面的颜色是一致的。也就是直接可以翻转到左边。

先用公式1之后。再后+。再把魔方整体顺时翻转九十度，是整体啊。不是一面。再用公式2。

如果你完成了上述步骤的话。恭喜你。完工了。

第二种情况。剩下相对的两只角，这时只要把两只角转到相邻的位置，就会变成了第一种情况了。

当然了，还会出现一种情况。就是魔方的两只对角，不是一个面的，是对整个魔方来说的。处理方法和上面的一样

7.【魔方中有什么数学规律

2008年七月，来自世界各地的很多最优秀的魔方玩家聚集在捷克共和国（Czech Republic）中部的帕尔杜比采（Pardubice），参加魔方界的重要赛事：捷克公开赛.在这次比赛上，荷兰玩家阿克斯迪杰克（E. Akkersdijk）创下了一个惊人的纪录：只用 7.08秒就复原一个颜色被彻底打乱的魔方.无独有偶，在这一年的八月，人们在研究魔方背后的数学问题上也取得了重要进展.在本文中，我们就来介绍一下魔方以及它背后的数学问题.一.风靡世界的玩具 1974年春天，匈牙利布达佩斯应用艺术学院（Budapest College of Applied Arts）的建筑学教授鲁比克（E. Rubik）萌生了一个有趣的念头，他想设计一个教学工具来帮助学生直观地理解空间几何的各种转动.经过思考，他决定制作一个由一些小方块组成的，各个面能随意转动的 3*3*3的立方体.这样的立方体可以很方便地演示各种空间转动.这个想法虽好，实践起来却面临一个棘手的问题，即如何才能让这样一个立方体的各个面能随意转动？鲁比克想了很多点子，比如用磁铁或橡皮筋连接各个小方块，但都不成功.那年夏天的一个午后，他在多瑙河畔乘凉，他的眼光不经意地落在了河畔的鹅卵石上.忽然，他心中闪过一个新的设想：用类似于鹅卵石表面那样的圆形表面来处理立方体的内部结构.这一新设想成功了，鲁比克很快完成了自己的设计，并向匈牙利专利局申请了专利.这一设计就是我们都很熟悉的魔方（magic cube），也叫鲁比克方块（Rubik's cube）[注一].六年后，鲁比克的魔方经过一位匈牙利商人兼业余数学家的牵头，打进了西欧及美国市场，并以惊人的速度成为了风靡全球的新潮玩具.在此后的 25年间，魔方的销量超过了 3亿个.在魔方的玩家中，既有牙牙学语的孩子，也有跨国公司的老总.魔方虽未如鲁比克设想的那样成为一种空间几何的教学工具，却变成了有史以来最畅销的玩具.魔方之畅销，最大的魔力就在于其数目惊人的颜色组合.一个魔方出厂时每个面各有一种颜色，总共有六种颜色，但这些颜色被打乱后，所能形成的组合数却多达 4325亿亿[注二].如果我们将这些组合中的每一种都做成一个魔方，这些魔方排在一起，可以从地球一直排到 250光年外的遥远星空.也就是说，如果我们在这样一排魔方的一端点上一盏灯，那灯光要在 250年后才能照到另一端.如果哪位勤勉的玩家想要尝试所有的组合，哪怕他不吃、不喝、不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花 1500亿年的时间才能如愿（作为比较，我们的宇宙目前还不到 140亿岁）.与这样的组合数相比，广告商们常用的“成千上万”、“数以亿计”、“数以十亿计”等平日里虚张声势、忽悠顾客的形容词反倒变成了难得的谦虚.我们可以很有把握地说，假如不掌握诀窍地随意乱转，一个人哪怕从宇宙大爆炸之初就开始玩魔方，也几乎没有任何希望将一个色彩被打乱的魔方复原.二.魔方与“上帝之数”魔方的玩家多了，相互间的比赛自然是少不了的.自 1981年起，魔方爱好者们开始举办世界性的魔方大赛，从而开始缔造自己的世界纪录.这一纪录被不断地刷新着，到本文写作之时为止，复原魔方的最快纪录-如我们在本文开头提到的-已经达到了令人吃惊的 7.08秒.当然，单次复原的纪录存在一定的偶然性，为了减少这种偶然性，自 2003年起，魔方大赛的冠军改由多次复原的平均成绩来决定[注三]，目前这一平均成绩的世界纪录为 11.28秒.这些记录的出现，表明魔方虽有天文数字般的颜色组合，但只要掌握窍门，将任何一种组合复原所需的转动次数却并不多.那么，最少需要多少次转动，才能确保无论什么样的颜色组合都能被复原呢[注四]？这个问题引起了很多人，尤其是数学家的兴趣.这个复原任意组合所需的最少转动次数被数学家们戏称为“上帝之数”（God's number），而魔方这个玩具世界的宠儿则由于这个“上帝之数”一举侵入了学术界.要研究“上帝之数”，首先当然要研究魔方的复原方法.在玩魔方的过程中，人们早就知道，将任意一种给定的颜色组合复原都是很容易的，这一点已由玩家们的无数杰出纪录所示范.不过魔方玩家们所用的复原方法是便于人脑掌握的方法，却不是转动次数最少的，因此无助于寻找“上帝之数”.寻找转动次数最少的方法是一个有一定难度的数学问题.当然，这个问题是难不倒数学家的.早在二十世纪九十年代中期，人们就有了较实用的算法，可以用平均十五分钟左右的时间找出复原一种给定颜色组合的最少转动次数.从理论上讲，如果有人能对每一种颜色组合都找出这样的最少转动次数，那么这些转动次数中最大的一个无疑就是“上帝之数”.但可惜的是， 4325亿亿这个巨大的数字成为了人们窥视“上帝之数”的拦路虎.如果采用上面提到的算法，哪怕用一亿台机器同时计算，也要超过一千万年的时间才能完成.看来蛮干是行不通的，数学家们于是便求助于他们的老本行：数学.从数学的角度看，魔方的颜色组合虽然千变万化，其实都是由一系列基本的操作（即转动）产生的，而且那些操作还具有几个非常简单的特点，比如任何一个操作都有一个。

三、魔方中的数学知识

风靡全球的魔方也蕴藏着数学，那么你对魔方中的数学知识了解多少呢?以下是由我整理关于魔方中的数学知识的内容，希望大家喜欢!

通常所说的魔方，其国际标准称呼是鲁比克魔方，由匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克—艾尔内于1974年发明!关于鲁比克发明魔方的初衷，流传甚广的一个说法是为了发明一种教具，以帮助学生理解、认识立体空间的构造。

鲁比克一开始并没有意识到他发明了一个极其具有挑战性的益智玩具，当他第一次将自己发明的魔方打乱，才发现了这个后来被无数人反复证明的事实：原始状态的魔方一旦被打乱，想要将其复原是一件极其困难的事情。

1980年初，一家玩具公司将魔方带至在巴黎、伦敦和美国召开的国际玩具博览会展出。此后不久，随着魔方制造技术的改进，魔方迅速风靡全球。到1982年，短短的3年间魔方在全球就售出了200多万只，而到今天，全世界售出了数亿只魔方，魔方已经成为全球最为流行的玩具之一。

魔方核心是三个相互垂直的轴，保证魔方的顺利转动。外观上，由26个小正方体组成一个正方体。其中包括与中心轴相连的中心方块6个，相对位置固定不动，仅一面涂有颜色;棱块12个，两面有颜色;角块8个，三面有色。复原状态下，魔方每面都涂有相同的颜色，六个面的颜色各不相同。魔方每个面都可以自由转动，从而打乱魔方，形成变化多端的组合。

魔方组合的数量可以按照如下方式计算：8个角块可以互换位置，存在8!种组合(8=8*7*6*5*4*3*2*1)，又可以翻转，每个角块可以具有’种空间位置，但因为不能单独翻转一个角块，需要除以3，总共存在8!* 37种组合;12个棱块可以互换位置，得到12!，又可以翻转，得到212，但因为不能单独翻转一个棱块，也不能单独交换任意两个棱块的位置，需要分别除以2，得到12!*212/(2*2)种组合。综上，得到魔方的所有可能组合数为：8!*37*12!*212/(2*2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33*1019

这是一个天文数字，如果某位玩家想要尝试所有的组合，哪怕不吃不喝不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花上千亿年的时间才能如愿，这约是当前宇宙年龄的10倍。

实际上，如果将魔方拆开随意组合，其组合情况将多达5.19*1020种。也就是说，如果拆散魔方，再随意安装，有11/12的几率无法恢复原状。所以如果魔方被拆散，安装时应按复原状态安装，否则极可能会无法复原。

魔方复原的另一个困难来自于我们只能按特定的方式复原，即反复旋转某一面，一面上的9个方块必须整体参与运动，这样我们在复原过程中总是会打乱已经复原的部分，这种限制大大加大了复原魔方的难度。

很显然，任意组合的魔方都可以在有限步骤内复原，那么，问题来了，是否存在复原任意组合魔方所需的最少转动次数N?也即，如果至多进行N次转动便可以将任意魔方复原，这个N具体为多少?这个数字N被称为上帝数字，从魔方刚刚流行的1982年便被提了出来。

当然，对任意的魔方，寻找最少的转动步骤是极其困难的，需要针对每种情况寻找特定的步骤。一般的，还是利用本文前面所述的复原办法，只需学习记忆少量的套路或公式，如CFOP法，需要学习记忆119个公式，平均只需55次转动便可复原魔方。

数学是一门充满魅力的学科，在它复杂表面的背后，隐藏着大量极其简单、漂亮的规律。有趣的游戏、手头的玩具，往往在简单中蕴藏着深刻的数学规律。而复杂的数学经常以极其简单、漂亮的形式展现。

对于魔方，我们应该都不陌生，近两年来,魔方初级玩法，稍微细心一点的人都可以发现，魔方作为益智玩具的一种，已经被越来越多的摆上了货架，被越来越多的人所喜爱。不久以前，我因为无聊，也就拿了一个魔方来，准备学习学习。(其实是因为同学说，许许多多数学牛人魔方都玩得很好，所以就虚荣心作祟了)然后又有一个同学和我说：\"玩魔方没有意思，一看到魔方我就想起小学那些奥赛题了。\"其实在研究了之后，我不认同这一点，我认为魔方作为一个特殊的代数结构，还是有其相当大的存在价值和研究价值的。这篇文章主要是由一些魔方的入门知识(科普版)和数学原理(数学版)组成的。科普版主要写魔方的基本知识，以及其玩法，启发公式的重要性。数学版主要是对魔方的数学原理进行探究，其中包含群论的一些内容。

科普版：

魔方(Rubik's Cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的。他发明魔方的目的是考察建筑学院学生的空间建构能力。具体地说，魔方由26块组成，具有12个棱块，8个角块，6个中心块组成，魔方中心那一块是中空的。同时6个中心块是无法移动的。那么，其实，一个魔方只有12个棱块，8个角块可以移动。(其实，拆过魔方的人都清楚，我就是一个拆魔方狂热分子。。。)。转动魔方只有一种操作，那就是，将一个面顺时针转90度。其他所有操作，都是这个操作复合而成的。那么，这一个操作，可以将魔方变出多少种不同的状态呢?答案是4.3*10^19。如此复杂的一个状态集合，也难怪大家难以把一个魔方复原了。

我佩服那些没有通过学习魔方玩法而自己把魔方复原出来的人。我自己就没有，(其实是我一位同学太坏了!他把我的魔方拆下来，又装上，于是那个是一个永不可复原的魔方，害得我后来白弄了半个月，只复原成只有一个角块不对，当然我也感谢这位同学，他让我思考了到底把魔方拆了再拼上，是一个正确魔方的概率有多大，详见数学版)这些没有自己把魔方复原的人大都付出了大量的努力。我非常敬佩这些人的毅力。正是他们，发现了一个又一个的魔方公式，才使我们还原魔方的速度变得越来越快。

普通玩法，也就是各种爱好者啦，他们满足于复原一个魔方，而不作更高的要求。

竞速玩法，为了追求更高的速度的玩法，这些复原方法是万能方法，而且他们运用的是复原方法中比较快的一种。我在这里写几种复原方法：

1.层进法(入门方法)：将魔方的一层一层进行还原，每一层进行还原，最后复原整个魔方，这种方法如果有一个好魔方1min之内可以轻松完成。

2. CFOP法(主流方法)：分为4步完成，C=cross(底层十字)F=first 2 layers(前两层)O=orient last layer(顶层定位)P=position last layer(顶层定向)。这个方法可以在30S内轻松完成。

这些方法大都和CFOP方法属于一个系统的。一般只是稍微的改变一下。

时间上的节省是用记忆力换得的，层进法只需要记忆不过20种情况，不到10个公式即可，而CFOP法则需要记忆上百种情况，及其所对应公式。所以为了比别人快，记忆很多东西是不可避免的。层进法需要大约120步，而CFOP法需要大约60步。关于群论上理论证明，复原任意一个魔方，只需要最多26步(这个界不是紧的)，那么我们可以设想，如果一个人大脑有足够的容量，记忆足够多的公式，那最多26步就可以完成了，肯定是一个创造吉尼斯纪录的成绩。不过，我觉得，比速度。。至少对于我来说，记忆不了那么多吧。所以这种玩法其实是记忆公式。

盲拧：蒙着眼睛把一个魔方复原，是不是一件很神奇的事情呢?如果按照CFOP法，这可不可能呢?答案是否定的，从盲拧和正常拧的世界纪录就可以看出它们用的方法不是一种，至今没有一个人成为这样的记忆奇才。因为百余种情况不是闹着玩的，而且每完成一步以后需要观察再进行下一步，蒙着眼睛是做不到的。这就需要一个神奇的公式三轮换公式，通过这个公式，不仅仅使我们变换的块数最少，而且还减小了它们之间的相互影响，这也使盲拧变成了一种可能。只需要记住4个公式就可以完成。当然同时，更让人头疼的可能是记住20块的位置朝向了。所以说，盲拧与其说是神奇，倒不如说是记忆位置。这个在CCTV科学探索中播出过。

最小步数复原：这个很NB。。应该是通过记公式算公式吧，我不太了解原理了。就把记录写在这里。。。目前的世界纪录是28步还原，耗时2个半小时。

还有单拧(单手拧)脚拧。。。当然我认为这些是无聊的。。

数学版：

曾经有个人发表了一个一篇关于三轮换的文章，结果。。有人钦佩，有人讽刺，只有极少数的人和作者进行了讨论。魔友大部分只是记住公式，其实也不用知道原理。他们也许是对的，不过，我在这里说一句，我觉得中国对于数学至少是不重视的，数学只是作为一种升学手段应用于应试教育中。尤其是奥数，其实数学当中哪里有那么多的技巧??奥数中绝大部分的题目来源于同年龄段更高等的数学之中。很多人都说奥数题又偏又难，为什么，因为他们没有学过相关知识而去做题，不习惯那些思考方式，怎么会不觉得难?为什么陶哲轩12岁拿到奥数金牌并且成为数学大师而中国本土出了那么多奥数金牌却都平平庸庸?因为陶哲轩不是做题做出来的，他在12岁前就把微积分学完了而且学得很好。再者中国为什么那么多人痛恨数学?做题做的。数学是很直观的东西，每一个概念都对应一个直观，从生活中抽象出来，只要用心看就有收获。

符号：u=upper, f=front, b=back,魔方站论坛, r=right, d=down, l=left

我们将魔方面对右面(r面)，看到右面一层如下左图，转动Y3后如右图，就可得出各块的变动。

类似分析Z3，

二者复合为

其中对角方块，右上角的正号表示此块顺时针转2π/3，负号表示反时针转。对棱方块表示有一个方向的翻转。上面分析说明，经过Y3,Z3两个转动，上右前角块回到原地，但顺时针转了2π/3。还有5个角方块做了一个轮换，各反时针转了2π/3，或说顺时针转了4π/3。7个棱方块做了一个轮换。

可以看出这是一个置换群，它是全部状态的一个子群，但它不是一个普通的20阶群，因为其棱块角块的朝向问题，魔方的群结构比一般的20阶群更复杂。而且它有另一个特点更为特殊。

特殊之处在于两个三轮换公式(分别是对棱块，角块)，这个公式我首先是直观认识到的，是我在学习层进法中众多公式的一个，它的意义在于我们可以把3个棱块(角块)互换，相当于(123)->(231)，而且在确定位置的情况下，这3块的朝向是确定的。我本来没有打算去证明这个结论，因为我们线性代数老师说过：\"如果你不信这件事情的话，亲自去做做不就行了。

我们证明对于棱块的三轮换公式是存在的。设想有两个轮换t1, t2,它们分别代表一个对于魔方的置换。这两个轮换有一个特点，他们变换了一个相同的棱块记为a，t1中a1->a,魔方高级玩法公式，t2中b1->a,下面我们做一个共轭变换t=(t1')(t2)(t1)，t是什么呢?t是一个近似t2的变换，只不过t1的a1变到t2的\"轨道\"里去了，而a还在原来的位置，下面我们做(t2')(t),就有a1,a,b1互换位置。

我们有图解如下：

其实证明中有一个小小的问题，因为只有8个角块，所以说我们要找两个共用一个角块的四轮换才可以，我们可以利用上述方法继续找，方法不详述了。

推论：我们能找到任意三轮换公式(即任何3个棱块(角块)都存在三轮换)。

对棱块进行说明，记6个棱块，123456，首先我们能找到两个三轮换(123),(345),我们作一个共轭变换(345)(123)(345)'=(124)，这样我们就从一个三轮换推到了另一个三轮换。我们再找一个关于6的棱块，把(124)共轭成(164)，这样，164三个棱块都是任选的了，证毕。

三轮换公式完全说明了魔方中角块和边块是互不影响的!也就是我们可以把魔方的20块拆成12个角块和8个边块分别进行研究。下面我有些?。。我应该说明二轮换公式是不存在的，不过我没有证明出来，但它确实是不存在的。也许哪位高人可以帮我。其实计算机搜索应该是可以解决的。。但一个纯数学的证明会更好些。

下面讨论如果把一个魔方拆了之后再拼上，正确概率有多大?我们知道一个好的魔方和一个不好的魔方只是不在一个\"轨道\"里，但是他们变出的状态时一样多的，因为他们同构。所以说我们只需要算出魔方不同轨道个数即可。

我们首先计算出随便拼出的魔方有多少种状态，这是可以由初等数学的排列组合解决的。

12!*8!*2^12*3^8=519024039293878272000

然后我们利用上面的结果，把角块和棱块分开考虑。对于棱块，全部正确是一种情况，如果我们把一块棱块朝向改变，其余都正确，是不可复原的。而这一个棱块可以在任意位置，它们都在一个轨道内(这个用任意三轮换公式可以证明)。还有一种是两个棱块调换位置，注意调换位置之后再改变朝向也是可以化到这种情况里的，而3个棱块及以上的调换，都可以用三轮换公式约简到2个棱块及以下的调换。所以对于棱块来说，只有3种情况。同样，由于角块多了一种朝向，所以是4种，那么，我们一共有3*4=12个轨道。

在这12个轨道里，我们只有一个是正确的，所以我们随意拼上正确的概率为1/12。

由此，我们可以计算魔方的状态数：12!*8!*2^12*3^8*1/12=43252003274489856000

后记：

其实我有更深的思考，魔方只是群论中的一个具体例子，但它已经如此繁复，有限群的研究不是那么简单的事情。而23步就一定能复原一个魔方给了计算机科学更大的挑战。如何搜索，能不能出现更新的技术都是小魔方能引入的大问题。实际上，把魔方用群的语言表示出来，最后找到复原解，是一个纯粹符号的计算，它只涉及到置换群的乘法，要找到复原魔法的最小步骤解，只需把分解成最少次乘法。研究这个搜索技术应该对研究置换群的运算是有很大好处的。

将魔方符号化是有好处的，它直接允许我们用计算机来研究魔方。

把魔方当作数学看，真的是一件很有趣的事情，也是学习群论的一种手段吧。